Makalah "DIFRAKSI KRISTAL DAN KISI RESIPROK"

BAB I : PENDAHULUAN

A.    Latar belakang

Dari bebrapa jenis zat diantaranya zat padat, cair, dan gas ternyata ada keunikan tersendiri dari susunan zat-zat ini. Disini kita mengkerucut membahas tentang zat padat, dimana zat padat ini terdiri dari atom-atom, ion atau molekuk yang sangat berdekatan dan menempati kedudukan tertentu disekitar posisi keseimbangannya. Secara umum zat padat itu memilki sifat bentuk dan volume yang sukar berubah. Zat padat yang akan kita bahas kali ini adalah berhubungan dengan Kristal, dimana dalam Kristal ini ada beberapa hal yang dapat kita analisis dan harus kita pahami. Untuk mengetahui lebih jauh lagi tentang Kristal ini maka harus kita kupas tuntas materi tentang Difraksi Kristal dan Kisi Resiprok yang menyimpan banyak pertanyaan didalamnya dan
menyimpan banyak pelajaran juga. Ada 4 sub bab pokok bahasan disini yaitu: 1. Difrasksi gelombang oleh Kristal, 2. Amplitude gelombang terhambur, 3. Kawasan brillouin dan kisi resiprok, 4. Analisis fourier pada basis; factor struktur dan factor atomic. Selamat berdiskusi..!

B.     Rumusan masalah

1.      Apa itu difraksi gelombang oleh Kristal ?

2.      Apa itu amplitude gelombang terhambur ?

3.      Apa itu kawasan brillouin dan kisi resiprok ?

4.      Apa itu analisis fourier pada basis : factor struktur dan factor bentuk atomik ?

C.     Tujuan rumusan masalah

1.      Menjelaskan difraksi gelombang oleh Kristal !

2.      Menjelaskan amplitude gelombang terhambur !

3.      Menjelaskan kawasan brillouin dan kisi resiprok !

4.      Menjelaskan analisis fourier pada basis : factor struktur dan factor bentuk atomic !

BAB II : PEMBAHASAN

1.      DIFRAKSI KRISTAL DAN KISI RESISPROK

1.1)            Difraksi Gelombang oleh Kristal

Difraksi kristal bergantung pada struktur kristal dan panjang gelombang. Pada panjang gelombang optik, superposisi gelombang terhambur elastis oleh kristal atom-atom kristal menghasilkan pembiasan biasa. Jika panjang gelombang radiasi lebih kecil daripada tetapan kisi akan diperoleh arah berkas terdifraksi sedikit berbeda dari arah berkas datang.

Menurut W.L. Bragg berkas yang terdifraksi oleh kristal terjadi jika pemantulan oleh bidang sejajar atom menghasilkan interferensi konstruktif. Bila bidang sejajar kisis adalah d dan radiasi datang pada bidang kertas, maka beda jalan sinar terpantul adalah 2d sin . Interferensi konstruktif terjadi jika beda jalan sinar kelipatan bulat panjang gelombang λ, sehingga dinyatakan:

2d sin =nλ                                                                                                 (1.1)

Pernyataan ini merupakan hukum bragg. Pemantulan bragg dapat terjadi jika λ  2d,karena itu tidak dapat menggunakan cahaya kasat mata.

Hukum Bragg tersebut terjadi akibat adanya periodisasi kisi, namun hukum ini tidak menentukan komposisi dasar atom yang tersusun pada setiap titik kisi sedangkan komposisi dasar menentukan intensitas relatif berbagai orde difraksi bidang paralel.

Contoh soal

Sinar-x dengan panjang gelombang 3,1  diarahkan pada kristal kubik sederhana dengan rusuk 3,5 Å. Jika ternyata bidang pantulannya bidang (111), berapa sudut Bragg pada kondisi maksimum pertama ?

Penyelesian:

sin =  dan untuk kubik sederhana  =

maka

sin =  

         =  

         =

Jadi sudut Bragg = ( )=

1.2)            Amplitudeo Gelombang Terhambur

1.2.1.      Analisis fourier

Suatu kristal adalah invarian terhadap translasi  = u +v +w  dengan u,v, dan w bilangan bulat sedangkan , , dan  adalah sumbu kristal. Sifat fisis kristal yang invarians terhadap  adalah konsentrasi muatan, jumlah rapat elektron, dan rapat momen magnet. Dari tiga besaran tersebut yang paling penting adalah jumlah rapat elektron n( ) yang merupakan fungsi periodik  dengan perioda , , dan pada arah ketiga sumbu kristal.persamaan konsentrasi yang invarian terhadap translasi  adaalah:

n( + ) = n( )                                                                      (1.2)

Fungsi n(x) dengan perioda a pada arah x untuk dimensi satu dapat diekspansikan:

n(x) = +  2.3

Dengan p bilangan bulat positif, dan tetapan real yang disebut dengan koefisien eskpansi fourier. Fungsi periodik n(x) dinyatakan:

n(x+a) = +

             = +

= n(x)

=                                                                    (1.4)

Dapat dikatakan bahwa  merupakan titik pada kisi resiprok atau ruang fourier kristal. Pada dimensi tiga jumlah rapat elektron adalah:

n( ) =                                                               (1.5)

sedangkan koefisien fourier pada persamaan (2.2.3) diberikan dengan:

 =                                           (1.6)

Invers persamaan                                                                            (1.5)

 =  dV                                     (1.7)

Dengan  merupakan sell kristal

1.2.2.       Vektor Kisi Resiprok

Selanjutnya akan ditentukan vektor  pada persamaan (1.5) untuk itu disusun vektor-vektor sumbu , dan  dari kisi resiprok

   = 2    ,  = 2    dan  = 2     (1.8a)

Atau dapat dinayatakan dengan:

 = 2                                                                                      (1.8b)

Jika , , dan  vektor translasi primitif serta  , dan  vektor primitif kisi resiprok maka masing-masing vektor pada (2.8) saling ortogonal yang dapat dinyatakan dengan  . =   . = . = 2  dan lainnya sama dengan nol secara singkat dapat ditulis dengan:

. =2

Vektor kisi resiprok yang memiliki dimensi  dinyatakan dengan vektor translasi primitif kisi resiprok adalah:

   = h +k +l                                                              (1.10)

Dengan h,k, dan l bilangan bulat

1.2.3.      Syarat Difraksi

Himpunan vektor kisi resiprok menentukan kemungkinan pemantulan sinar-X. Jika vektor gelombang berkas datang dan pantul masing-masing   dan   serta amplitudo gelombang terhambur oleh volume sebanding dengan konsentrasi elektron maka mengingat (1.5) amplitudo vektor medan listrik dan magnet pada gelombang terhambur adalah:

F = ( )  dV

   =  dV                                              (1.11)

Dengan = -  merupakan vektor gelombang terhambur

Pada hamburan elastis , sehingga berlaku =  atau -  akibatnya syarat difraksi dapat dituliskan:

= atau 2 + =0                                         (1.12)

Pada hamburan elastis sentral berlaku =- , maka (1.12) menjadi:

2 . =                                                                              (1.13)

Jika masing-masing vektor kisi primitif dikalikan noktah (dot) dengan vektor hamburan diperoleh laue:

 .  = 2 h ;  .  = 2 k dan  . = 2 l               (1.14)

1.3)            Kawasan Brillouin dan Kisi Resiprok

1.3.1.      Kawasan brillouin pertama

Kawasan brillouin pertama didefinisikan sebagai sel primitif Wigner-Seittz pada kisi resiprok. Nilai kawasan Brillouin memberikan interprestasi geometrik dari keadaan difraksi, yang dinyatakan (1.13). jika kedua ruas dibagi dengan 4, maka persamaan (1.13) akan menjadi:

 .( )=                                                       (1.15)

Selanjutnya kita bekerja pada ruang resiprok, yaitu ruang  dan . Vektor  dipilih berasal dari pusat menuju titik kisi resiprok.

1.4)            Analisis Fourier pada Basis: Faktor struktur dan Faktor bentuk Atomik

1.4.1.      Faktor Struktur

Pada keadaan terjadi difraksi , maka amplitudo hambatan Kristal denang N sel dinyatankan dengan :

                                                   (2.1)

Besaran S_G dinamakan factor struktur dan didefinisikan sebagai integral tunggal pada seluruh sel dengan  di satu pojok.

Konsentrasi electron  merupakan superposisi dari fungsi konsentrasi electron n_j pada ataom j dari sel. Jika  adalah vector atom pusat j dan fungsi  mendefinisikan sumbangan atom pada konsentrasi electron di . Konsentrasi electron total di  untuk semua atom di sel pada seluruh s atom dari basis :

                                                       (2.35)

Factor struktur yang didefinisikan dapat dinyatakan sebagai integral untuk seluruh s atom pada sel:

                            (2.36)

Dengan .

Sedangkan factor bentuk atomik dapat didefinisikan sebagai integral untuk seluruh ruang.

                                                                          (2.37)

Jika  dan  merupakan sifat atomik, maka dengan (2.36) dan (2.37) dapat diperoleh struktur factor dari basis:

                                                               (2.38)

Dengan mengingat  , maka diperoleh :

                                                                                                 (2.39)

Jika persamaan (2.38) disubstitusikan ke persamaan (2.39) diperoleh :

                                                                                                                                                                            (2.40)

Factor struktur tidak harus real atau bias kompleks, sedangkan intensitas hamburan akan real karena hasil kali factor struktur dan kompleks konjugatnya (S_G^* S_G) pada saat struktur factor berharga nol maka intensitas hamburan juga nol, dengan begitu  merupakan vector kisi resiprok baik sempurna. Jika kita berpindah basis, misalnya dari sel primitive ke sel konvensional, maka intensitas hamburan harus tidak berubah. Dengan begitu berlakulah persamaan:

                                            (2.41)

Disamping itu dalam hamburan, berlaku vector bilangan gelombang dating dan terhambur sebagai berikut:

                          

                   

                                                                             (2.41)

Karena  sama besar tetapi berbeda arahnya sebesar 2 , sehingga:

                                                                  (2.42)

Dari (2.40) dan (2.41) diperoleh:

                                          (2.43)

Akhirnya diperoleh:

                                                                        (2.44)

1.4.2.      Faktor Struktur Untuk Kisi Pusat Ruang (bcc)

Basis bcc mengacu pada sel kubik yang memiliki atom-atom identik pada X₁=Y₁= Z₁= 0 fsn pada X₂=Y₂= Z₂=   . Dengan menganggap semua factor bentuk atomic sama dan menggunakan (2.40), maka factor struktur pada kisi ini:

                                           

                                                                                         (2.45)

Bilangan kompleks pada (2.45) akan bernilai -1 jika argumennya merupakan kelipatan gasal dari  dan berharga 1 jika argumennya kelipatan genap , sehingga :

                 0, jika h+k+l = gasal

S                                                                                          (2.46)

                                              2f, jika h+k+l = genap

1.4.3.      Factor bentuk atomic

Ungkapan factor struktur (2.49) merupakan pengukuran tingkat hamburan dari atom ke- j dalam sel satuan. Nilai f memuat jumlah dan distribusi electron atomic dan panjang gelombang seri sudut hamburan radiasi.

Radiasi terhambur atom tunggal merupakan jumlah efek interferensi pada atom. Factor bentuk didefinisak pada:

                                 (2.47)

Dengan perluasan integrasi seluruh konsentrasi electron terasosiasi pada atom tunggal. Jika  membentuk sudut  dengan , maka .  = G r cos . Apabila distribusi konsentrasi electron setangkup (simetri) bola terhadap pusat, maka:

 

                                            (2.48)

Dengan mengintegrasikan terhadap d(kos ) antara -1 dan 1 pada persamaan (2.48), maka factor bentuk menjadi :

                                                 (2.49)

Jika rapat electron total sama terkonsentrasi di =0, Gr = 0, dan lim  = 1, maka didapatkan factor bentuk sama dengan jumlah electron atomic.

 = Z                              (2.50)

Selanjutnya f merupakan antara amplitude radiasi terhambur oleh distribusi electron actual pada sebuah atom dengan amplitude yang terhambur oleh sebuah electron ditempatkan disebuah titik.

BAB III : PENUTUP

A.    KESIMPULAN

Dari pembahasan diatas dapat disimpulkan bahwa ada beberapa hal yang perlu diketahui dan dapat dianalisis mengenai Difraksi Kristal dan Kisi Resiprok diantaranya adalah:

1.      Difraksi Gelombang oleh Kristal

Menurut W.L. Bragg berkas yang terdifraksi oleh kristal terjadi jika pemantulan oleh bidang sejajar atom menghasilkan interferensi konstruktif. Bila bidang sejajar kisi adalah d dan radiasi datang pada bidang kertas, maka beda jalan sinar terpantul adalah 2d sin . Interferensi konstruktif terjadi jika beda jalan sinar kelipatan bulat panjang gelombang λ, sehingga dinyatakan:

2d sin  = nλ (2.1). Pernyataan ini merupakan hukum bragg. Pemantulan bragg dapat terjadi jika λ  2d,karena itu tidak dapat menggunakan cahaya kasat mata.

2.      Amplitudo Gelombang Terhambur

Jika vektor gelombang berkas datang dan pantul masing-masing   dan   serta amplitudo gelombang terhambur oleh volume sebanding dengan konsentrasi elektron maka amplitudo vektor medan listrik dan magnet pada gelombang terhambur adalah:

F = ( )  dV

   =  dV (2.11)

Dengan = -  merupakan vektor gelombang terhambur

Pada hamburan elastis , sehingga berlaku =  atau -  akibatnya syarat difraksi dapat dituliskan:

= atau 2 + =0 (2.12)

Pada hamburan elastis sentral berlaku =- , maka (2.12) menjadi:

2 . = (2.13)

Jika masing-masing vektor kisi primitif dikalikan noktah (dot) dengan vektor hamburan diperoleh laue:

 .  = 2 h ;  .  = 2 k dan  . = 2 l(2.14).

3.      Kawasan Brillouin (brillouin zones)

Kawasan brillouin pertama didefinisikan sebagai sel primitif Wigner-Seittz pada kisi resiprok. Nilai kawasan Brillouin memberikan interprestasi geometrik dari keadaan difraksi, yang dinyatakan dengan 2 . =  (2.13). jika kedua ruas dibagi dengan 4, maka persamaan (2.13) akan menjadi:

 .( )= (2.15).

4.      Analisis Fourier pada basis: faktor struktur dan faktor bentuk atomik

Factor struktur yang didefinisikan dapat dinyatakan sebagai integral untuk seluruh s atom pada sel:

                               (2.36)

Dengan .

Sedangkan factor bentuk atomik dapat didefinisikan sebagai integral untuk seluruh ruang.

B.     SARAN

Mohon maaf atas segala kesalahan dan kekeliruan dalam penyusunan makalah dan dari segi tutur bahasa dalam membahas isi makalah. Penyusun mengharapkan kritik yang sifatnya konstruktif dari bapak dosen maupun rekan-rekan mahasiswa demi kesempurnaan dimasa mendatang.

DAFTAR PUSTAKA

Edi Istiyono. 2000. Fisika Zat Padat. Yogyakarta: FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta